المعادلة التربيعية: القانون العام وطرق الحل خطوة بخطوة

المعادلة التربيعية هي معادلة من الدرجة الثانية صيغتها العامة ax² + bx + c = 0، حيث a وb وc أعداد حقيقية وشرطها أن a لا تساوي صفراً. تظهر هذه المعادلات في الجبر والفيزياء والهندسة والاقتصاد، ولها حلّ واحد أو اثنان أو لا حلّ حقيقياً، بحسب قيمة تسمى المميّز.

في هذا المقال ستتعلم ما هي المعادلة التربيعية، وكيف يحدد المميّز عدد جذورها، وأربع طرق لحلها: التحليل إلى عوامل، والجذر التربيعي، وإكمال المربع، والقانون العام. ثم تجد أمثلة محلولة بخطوات واضحة، وتمارين مع إجاباتها.

ما هي المعادلة التربيعية؟

الصيغة العامة للمعادلة التربيعية هي ax² + bx + c = 0، وفيها:

• a معامل x²، ولا يجوز أن يكون صفراً.
• b معامل x.
• c الحد الثابت.

مثال: في المعادلة 2x² + 3x − 2 = 0 نجد أن a = 2 وb = 3 وc = −2.

لماذا لا تكون a صفراً؟ لأنها لو كانت صفراً لاختفى الحد x² وأصبحت المعادلة خطية من الدرجة الأولى.

أنواع المعادلة التربيعية

• كاملة: تحتوي على الحدود الثلاثة، مثل x² − 5x + 6 = 0.
• ناقصة (b = 0): مثل x² − 16 = 0.
• ناقصة (c = 0): مثل x² − 4x = 0.

نصيحة: قبل الحل، رتّب المعادلة بحيث يصبح الطرف الأيمن صفراً.

المميّز (Δ) وعدد جذور المعادلة

المميّز هو القيمة Δ = b² − 4ac. وتحدد قيمته عدد الجذور الحقيقية قبل أن تبدأ الحل:

إذا كان المميّز سالباً فهذا يعني أنه لا يوجد عدد حقيقي يحقق المعادلة. وتوجد في هذه الحالة جذور مركّبة تُدرس في مراحل أعلى.

طرق حل المعادلة التربيعية

الحل بالتحليل إلى عوامل

الفكرة: نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي c ومجموعهما يساوي b، ثم نكتب المعادلة على شكل حاصل ضرب قوسين يساوي صفراً.

مثال: حل المعادلة x² − 5x + 6 = 0

1. نبحث عن عددين حاصل ضربهما 6 ومجموعهما −5، وهما −2 و −3.
2. نكتب المعادلة: (x − 2)(x − 3) = 0
3. نساوي كل عامل بالصفر: x − 2 = 0 أو x − 3 = 0
4. الجذران: x = 2 و x = 3

تناسب هذه الطريقة الأعداد البسيطة حين تكون الجذور صحيحة أو كسوراً بسيطة.

حل المعادلات الناقصة

حالة b = 0: نعزل x² ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين.

مثال: 2x² − 18 = 0 ← x² = 9 ← x = ±3

حالة c = 0: نُخرج x عاملاً مشتركاً.

مثال: x² − 4x = 0 ← x(x − 4) = 0 ← x = 0 أو x = 4

إكمال المربع

الخطوات:

1. انقل الحد الثابت إلى الطرف الأيمن.
2. أضف (b/2)² إلى الطرفين (بعد جعل a = 1).
3. اكتب الطرف الأيسر على شكل مربع كامل.
4. خذ الجذر التربيعي للطرفين وحُلّ.

مثال: حل المعادلة x² + 6x + 5 = 0

• ننقل الثابت: x² + 6x = −5
• نضيف (6/2)² = 9 إلى الطرفين: x² + 6x + 9 = 4
• نكتب مربعاً كاملاً: (x + 3)² = 4
• نأخذ الجذر: x + 3 = ±2
• الجذران: x = −1 و x = −5

الحل بالقانون العام

القانون العام هو أشمل الطرق، لأنه يحلّ أي معادلة تربيعية:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

مثال ١ (Δ > 0): حل المعادلة 2x² + 3x − 2 = 0

1. المعاملات: a = 2 وb = 3 وc = −2
2. المميّز: Δ = 3² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25
3. نعوّض: x = (−3 ± 5) / 4
4. الجذران: x = ½ و x = −2

التحقق: بالتعويض x = ½ نجد 2(¼) + 3/2 − 2 = 0 ✓

مثال ٢ (Δ = 0): حل المعادلة x² − 4x + 4 = 0

• المميّز: Δ = 16 − 16 = 0
• الجذر المكرر: x = 2

مثال ٣ (Δ < 0): حل المعادلة x² + 2x + 5 = 0

• المميّز: Δ = 4 − 20 = −16
• المميّز سالب، إذن لا توجد جذور حقيقية.

الحل البياني

جذور المعادلة هي إحداثيات x لنقاط تقاطع منحنى القطع المكافئ y = ax² + bx + c مع محور x. يمكن رسمه بسهولة باستخدام الحاسبات الرسومية أو برنامج GeoGebra.

أي طريقة أنسب؟

القاعدة العملية: جرّب التحليل أولاً، وإن لم يظهر لك سريعاً فاستخدم القانون العام.

مجموع الجذور وحاصل ضربهما

إذا كان جذرا المعادلة ax² + bx + c = 0 هما x₁ وx₂ فإن:

• x₁ + x₂ = −b / a
• x₁ · x₂ = c / a

مثال تحقق: في المعادلة x² − 5x + 6 = 0 جذراها 2 و3، ومجموعهما 5 وهو −b/a، وحاصل ضربهما 6 وهو c/a.

تفيد هاتان القاعدتان في التحقق السريع من الحل، وفي تكوين معادلة تربيعية إذا عُلم جذراها.

كيف نشتق القانون العام؟

نبدأ من ax² + bx + c = 0 ونقسم على a ثم نكمل المربع:

1. x² + (b/a)x = −c/a
2. نضيف (b/2a)² للطرفين: (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a²
3. نأخذ الجذر: x + b/2a = ±√(b² − 4ac) / 2a
4. ينتج القانون: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

وهكذا يتبين أن القانون العام ليس سوى إكمال المربع مطبَّقاً على الصيغة العامة.

مسألة تطبيقية من الحياة

المسألة: مستطيل طوله يزيد على عرضه بمقدار 3 أمتار، ومساحته 40 متراً مربعاً. أوجد بُعديه.

1. نفرض أن العرض = x، فيكون الطول = x + 3.
2. المساحة: x(x + 3) = 40 أي x² + 3x − 40 = 0
3. التحليل: (x + 8)(x − 5) = 0
4. الجذران: x = −8 أو x = 5
5. نرفض القيمة السالبة لأن الطول لا يكون سالباً.

الإجابة: العرض 5 م والطول 8 م.

وتظهر المعادلات التربيعية كذلك في حركة المقذوفات، وحساب الأرباح والتكاليف، وتصميم الأقواس والجسور.

أخطاء شائعة يقع فيها الطلاب

• نسيان نقل جميع الحدود إلى طرف واحد ليصبح الطرف الآخر صفراً.
• نسيان الإشارة ± في القانون العام، فيضيع أحد الجذرين.
• ارتكاب خطأ في الإشارة عندما يكون b سالباً، فيجب كتابة −b بعناية (إذا كان b = −5 فإن −b = 5).
• قسمة الطرفين على x، فيضيع الجذر x = 0 في المعادلات التي ينقصها الحد الثابت.
• قبول جذر سالب في مسألة تدل على طول أو مساحة.

تمارين للحل مع الإجابات

حاول حلّ كل معادلة قبل النظر إلى الإجابة:

لمحة تاريخية

حلّ البابليون مسائل تؤول إلى معادلات تربيعية منذ نحو ألفي سنة قبل الميلاد. وفي القرن التاسع الميلادي صنّف العالم الخوارزمي في كتابه «الجبر والمقابلة» المعادلات من الدرجة الثانية إلى أنواع، وقدّم لها حلولاً مع براهين هندسية، فكان ذلك أساساً لعلم الجبر.

أسئلة شائعة

ما هي المعادلة التربيعية؟

هي معادلة من الدرجة الثانية صيغتها العامة ax² + bx + c = 0 حيث a لا تساوي صفراً.

ما هو القانون العام لحل المعادلة التربيعية؟

هو x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a، ويحلّ أي معادلة تربيعية.

متى يكون للمعادلة جذران حقيقيان؟

عندما يكون المميّز b² − 4ac أكبر من الصفر.

ماذا يعني أن المميّز سالب؟

يعني أنه لا توجد جذور حقيقية للمعادلة، أي أن منحنى القطع المكافئ لا يقطع محور x.

هل يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية أكثر من جذرين؟

لا، فالحد الأقصى لعدد جذور المعادلة التربيعية جذران.

ما الفرق بين المعادلة التربيعية والمعادلة الخطية؟

أعلى أس في المعادلة الخطية هو 1 ولها جذر واحد، أما المعادلة التربيعية فأعلى أس فيها 2 ولها حتى جذرين.

أي طريقة أنسب لحل المعادلة التربيعية؟

جرّب التحليل أولاً لسرعته، وإن لم ينجح فاستخدم القانون العام لأنه يعمل دائماً.

خاتمة

لحلّ المعادلة التربيعية: اكتبها بالصيغة العامة، واحسب المميّز لمعرفة عدد الجذور، ثم اختر الطريقة المناسبة. التحليل أسرع للأعداد البسيطة، والقانون العام يصلح لكل الحالات. تدرّب على التمارين أعلاه لتثبيت الفكرة.